已知圆C以(3,-1)为圆心,5为半径,过点S(0,4)作直线l与圆C交于不同两点A,B.

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  • (Ⅰ)圆心C坐标(3,-1),半径r=5,

    由条件可知:圆心C到直线l的距离为3.(3分)

    当斜率不存在时,x=0符合条件; (4分)

    当直线l斜率存在时,设其为k,

    |3k+5|

    k 2 +1 =3⇒k=-

    8

    15 ,

    则直线l的方程为8x+15y-60=0.

    综上,直线l方程是8x+15y-60=0或x=0;(6分)

    (Ⅱ)知直线l方程为y=-2x+4,设点P(a,4-2a),

    则由PC 2-r 2=PS 2得:a 2+4a 2=(a-3) 2+(5-2a) 2-25,

    ⇒a=

    9

    26 ,

    所求点P为 (

    9

    26 ,

    43

    13 ) ;(10分)

    (Ⅲ)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有:

    定点M的坐标为 (

    3

    2 ,

    3

    2 ) .(16分)