Question

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=[1/2]．

Answer 1

解题思路：（1）由于函数f（x）满足f（x+y）=f（x）•f（y）对任意的实数x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由f（1）=[1/2]得到f（n）的表达式；

（2）由（1）知，a_n=n•f（n）=

n(

1

2

)

n

，故可用错位相减法求出a₁+a₂+a₃+…+a_n的表达式，即可得证；

（3）由（1）和b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)

，n∈N^*可求b_n的表达式，进而求出S_n，由于数列为一种特殊函数，故可利用函数单调性得到S_n最大时的n值．

（1）令x=n．y=1，得到f（n+1）=f（n）•f（1）=[1/2]f（n），

所以{f（n）}是首项为[1/2]、公比为[1/2]的等比数列，即f（n）=(

1

2)n；

（2）∵an=nf(n)=n•(

1

2)n，∴Sn=

1

2+2×(

1

2)2+…+n×(

1

2)n，

∴

1

2Sn=(

1

2)2+2×(

1

2)3 +…+n×(

1

2)n+1，

两式相减得：∴

1

2Sn=

1

2+(

1

2)2+(

1

2)3 +…+(

1

2)n-n×(

1

2)n+1，

整理得∴ Sn=

1

2-(

1

2)n-1-n×(

1

2)n＜2．

（3）∵f（n）=(

1

2)n，而b_n=（9-n）

f(n+1)

f(n)，n∈N^*，则b_n=[9-n/2]，

当n≤8时，b_n＞0；当n=9时，b_n=0；当n＞9时，b_n＜0；

∴n=8或9时，S_n取到最大值．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查数列求和的错位相减法法、等比数列的前n项和公式，着重考查考生的运算能力．