Question

已知函数f(x)满足:f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)对任意实数x,y恒成立,且f(1)≠f(2),求证：

Answer 1

令x=y=0 f(0)^2=f(0) f(0)=0或1

f(0)=0时 令x=1 y=0得f(1)=0 令x=2 y=0得f(2)=0

与条件f(1)≠f(2)矛盾,所以f(0)=1

令x=0 f(y)+f(-y)=2f(y)

所以f(y)=f(-y)即f(x)=f(-x)

所以f(x)是偶函数