Question

如图，椭圆C0：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0，a，b为常数），动圆C1：x2+y2＝t21，b＜t1＜a．点A1，

Answer 1

解题思路：（I）设出线A₁A的方程、直线A₂B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C₀上，化简即可得到M轭轨迹方程；

（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得

t

2

1

+

t

2

2

=a²+b²为定值．

（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₂=x₁，y₂=-y₁，

∵A₁（-a，0），A₂（a，0），则直线A₁A的方程为y=

y1

x1+a（x+a）①

直线A₂B的方程为y=

−y1

x1−a（x-a）②

由①×②可得：y²=

−y12

x12−a2（x²-a²）③

∵A（x₁，y₁）在椭圆C₀上，

∴

x12

a2+

y12

b2＝1

∴y₁²=b²（1-

x12

a2）

代入③可得：y²=

−b2(1−

x12

a2)

x12−a2（x²-a²）

∴

x2

a2−

y2

b2＝1（x＜-a，y＜0）；

（II）证明：设A′（x₃，y₃），

∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等

∴4|x₁||y₁|=4|x₃||y₃|

∴x₁²y₁²=x₃²y₃²
∵A，A′均在椭圆上，

∴b²x₁²（1-

x12

a2）=b²x₃²（1-

x32

a2）

∴x₁²-

x14

a2=x₃²-

x34

a2

∴a²（x₁²-x₃²）=x₁⁴-x₃⁴
∵t₁≠t₂，∴x₁≠x₃．

∴x₁²+x₃²=a²
∵y₁²=b²（1-

x12

a2），y₃²=b²（1-

x32

a2）

∴y₁²+y₃²=b²
∴

t21+

t22=a²+b²为定值．

点评：

本题考点： 与直线有关的动点轨迹方程；圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查定值问题的证明，解题的关键是设出直线方程，求出交点的坐标，属于中档题．