设直线方程为y-1=k(x-2)
直线和椭圆两交点为(x1,y1)(x2,y2)
则有x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减得x1²-x2²+4y1²-4y2²=0
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 (1)
因为M(2,1)是点(x1,y1)和点(x2,y2)的中点,则有
(x1+x2)/2=2;(y1+y2)/2=1
x1+x2=4;y1+y2=2
代入(1)式得:
4(x1-x2)+4*2(y1-y2)=0
弦的斜率为 k=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
设 弦的方程为y=-x/2+m,因为过 M(2,1)点,则有1=-2/2+m,m=2
则方程为y=-x/2+2
因为该弦与椭圆的交点分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点,
所以弦长为2倍的根号5