解题思路：（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGH=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；
（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．
（1）证明：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH=[180°−∠D/2]，
同理，∠CGF=[180°−∠C/2]，
∴∠DGH+∠CGF=
360°−(∠D+∠C)
2，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）AB=a，∠A=60°，则菱形ABCD的面积是：
3
2a2，
设BE=x，则AE=a-x，
则△AEH的面积是：
3(a−x)2
4，
△BEF的面积是：
3x2
4，
则矩形EFGH的面积y=
3
2a2-
3(a−x)2
2-
点评：
本题考点： 菱形的性质；二次函数的最值；矩形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．