Question

已知抛物线y=a（x-t）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，点B与点A关于原点对称．

Answer 1

解题思路：（1）根据函数解析式即可得出A点的坐标，然后根据中心对称的性质求得B点的坐标；

（2）把A点的坐标代入直线y=2x中得t的值，把B点 的坐标代入y=a（x-t）²+t²中得a=-[1/2]，即可得出抛物线的解析式；

（3）先求得A、B的坐标，设出C点的坐标为（2，m），分两种情况讨论即可求得．

（1）∵抛物线y=a（x-t）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，

∴A（t，t²），

∵点B与点A关于原点对称，

∴B（-t，-t²）．

（2）∵直线y=2x经过点A，

∴t²=2t，

解得：t=2，t=0（舍去）

∵抛物线y=a（x-t）²+t²经过点B，

∴-2t²=a（-t-t）²+t²，

解得：a=-[1/2]，

∴抛物线的解析式为y=-[1/2]（x-2）²+4；

（3）存在；

如图，∵抛物线的解析式为y=-[1/2]（x-2）²+4，

∴A（2，4），B（-2，-4）

设C（2，m），

当AC=BC时，

则（4-m）²=（2+2）²+（-4-m）²，

解得：m=-1，

∴C₁（2，-1），

当AB=AC时，

则（4-m）²=（2+2）²+（4+4）²，

解得：m=4+4

5或m=4-4

5，

∴C₂（2，4-4

5），C₃（2，4+4

5），

∴存在点C，使得△ABC等腰三角形，点C坐标为C₁（2，-1），C₂（2，4-4

5），C₃（2，4+4

5）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．