Question

已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）由题意得a_n+1=a_n²+2a_n，变形得a_n+1+1=（a_n+1）²，再两边取对数化简后，由等比数列的定义可证明；

（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的通项公式求出1+a_n的表达式，代入T_n根据指数的运算和等比数列的前n项公式化简；

（Ⅲ）将a_n+1=a_n²+2a_n化简后取倒数得

1

a

n

+2

＝

1

a

n

−

2

a

n+1

，再代入b_n=

1

a

n

+

1

a

n

+2

化简，利用前后项相消后求出数列{b_n}的前n项和S_n．

证明：（Ⅰ）由题意得a_n+1=a_n²+2a_n，即a_n+1+1=（a_n+1）²，

两边取对数得，lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），即

lg(an+1+1)

lg(an+1)＝2，

由a₁=2得，lg（a₁+1）=lg3，

即数列{lg（1+a_n）}是公比为2、以lg3为首项的等比数列；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，lg（1+a_n）=2^n-1lg3=lg32n−1，

所以1+a_n=32n−1，

所以T_n=（1+a₁）•（1+a₂）…（1+a_n）

=320•321•322…32n−1=3

1−2n/1−2]=32n−1，

由1+a_n=32n−1，得a_n=32n−1-1；

（Ⅲ）由（Ⅰ）得，a_n+1=a_n²+2a_n=2a_n（a_n+2），

所以[1

an+1＝

1/2(

1

an−

1

an+2)，即

1

an+2＝

1

an−

2

an+1]，

又b_n=

1

an+

1

an+2，所以b_n=2(

1

an−

1

an+1)，

所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

a1−

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题考查等比数列的定义，前n项公式，裂项相消法求数列的和，以及指数、对数的运算等，属于中档题．