Question

设数列an前n项和为Sn,且an+Sn=1,求an的通项公式 若数列bn满足b1=1且bn+1=bn+an,求数列bn通

Answer 1

1.

n=1时,a1+S1=2a1=1

a1=1/2

n≥2时,

Sn=1-an S(n-1)=1-a(n-1)

Sn-S(n-1)=an=1-an-1+a(n-1)

2an=a(n-1)

an/a(n-1)=1/2,为定值.

数列{an}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列.

an=(1/2)(1/2)^(n-1)=1/2ⁿ

数列{an}的通项公式为an=1/2ⁿ.

2.

b(n+1)=bn+an

b(n+1)-bn=an=1/2ⁿ

bn-b(n-1)=1/2^(n-1)

b(n-1)-b(n-2)=1/2^(n-2)

…………

b2-b1=1/2

累加

bn-b1=1/2+1/2²+...+1/2^(n-1)=(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)=1- 1/2^(n-1)

bn=b1+1 -1/2^(n-1)=1+1- 1/2^(n-1)=2 -1/2^(n-1)

数列{bn}的通项公式为bn=2- 1/2^(n-1)