解题思路：（1）由已知条件推导出a1=1.
a
n+1
a
n
]=[1/2]（n≥2），从而求出an=（[1/2]）n-1．bn+1-bn=（[1/2]）n-1．利用叠加法能求出bn=3-（[1/2]）n-2．
（2）由cn=n（3-bn）=2n（[1/2]）n-1．利用错位相减法求出Tn=8-[8+4n/2n]，从而得到Tn＜8．
（3）由（1）知
d
n
＝
4
n
+(−1
)
n−1
•λ•
1
a
n
=4n+（-1）n•λ•2n-1，由数列{dn}是递增数列，得到（-1）n•λ＞-2n+1对∀n∈N*恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．
（1）∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2，∴a1=1．
∵Sn=2-an，即an+Sn=2，∴an+1+Sn+1=2．
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0．
即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an，
∵an≠0，∴
an+1
an=
1/2]（n≥2），
∴an=（[1/2]）n-1．…（2分）
∵bn+1=bn+an（n=1，2，3，…），∴bn+1-bn=（[1/2]）n-1．
得b2-b1=1，b3-b2=[1/2]，b4-b3=（[1/2]）2，…，bn-bn-1=（[1/2]）n-2（n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+[1/2]+（[1/2]）2+（[1/2]）3+…+（[1/2]）n-2
=
1−(
1
2)n−1
1−
1
2=2-（[1/2]）n-2．
又∵b1=1，∴bn=3-（[1/2]）n-2（n=1，2，3…）．…（4分）
（2）证明：∵cn=n（3-bn）=2n（[1/2]）n-1．
∴Tn=2[(
1
2)0+2×(
1
2)+3×(
1
2)2+…+n×(
1
2)n−1]，①
[1/2Tn＝2[(
1
2)+2×(
1
2)2+3×(
1
2)3+…+n×(
1
2)
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
1年前
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