Question

数列{an}的前n项的和Sn=2an-1（n∈N*），数列{bn}满足：b1=3，bn+1=an+bn（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由S_n+1=a_n+b_n得，a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），可得递推式，根据等比数列定义及递推式可判断{a_n}为等比数列；

（2）利用累加法可求得b_n，然后利用分组求和及等差数列等比数列的前n项和公式可求；

（1）∵a_n+1=S_n+1-S_n=（2a_n+1-1）-（2a_n-1），

∴a_n+1=2a_n，

又a₁=S₁=2a₁-1，∴a₁=1≠0，

因此数列{a_n}为公比是2、首项是1的等比数列；

（2）易得bn+1−bn＝2n−1，∴bn−bn−1＝2n−2，bn−1−bn−2＝2n−3，…，b2−b1＝20＝1，

以上各式相加得，bn+1−b1＝1+2+3+…+2n−1=2ⁿ-1，

∴bn+1＝2n+2，∴bn＝2n−1+2，

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2n+

1−2n

1−2=2ⁿ+2n-1（n∈N*）．

点评：

本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列通项公式、等比数列判断及数列求和，属中档题．