Question

已知圆C：x 2 +y 2 -2x-4y-20=0，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R．

Answer 1

（I）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 即 （x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由

x+y-4=0

2x+y-7=0 求得

x=3

y=1 ，故直线过定点A（3，1）．

再由圆C：x ²+y ²-2x-4y-20=0，即 （x-1） ²+（y-2） ²=25，表示以C（1，2）为圆心，以5为半径的圆，而|AC|=

4+1 ，小于半径，

故点A在圆内，故直线和圆相交．

（II）当直线l过圆心时，弦长L最大为直径10，当CA和直线l垂直时，弦长L最小，为2

25-5 =4

5 ，

故直线被圆C截得的弦长L的取值范围为[4

5 ，10]．

当弦长L最小时，AC的斜率K _AC=

1-2

3-1 =-

1

2 ，故直线l的斜率为2，故直线l的方程为 y-1=2（x-3），即 2x-y-5=0．