【符号说明】∵代表“因为”,∴代表“所以”,f'(x)与f''(x)分别代表f(x)的一阶和二阶导数
(1)证明：
∵f(x)=xsinx+2cosx
∴f'(x)=(xsinx)'+(2cosx)'=(x'sinx+x(sinx)')+2(-sinx)=sinx+xcosx-2sinx=xcosx-sinx
∴f''(x)=(f'(x))'=(xcosx)'-(sinx)'=(cosx+x(-sinx))-cosx=-xsinx
∵当x∈[0,π)时,x≥0,sinx≥0,故f''(x)=-xsinx≤0
当x∈(-π,0)时,x＜0,sinx＜0,故f''(x)=-xsinx＜0
∴当x∈(-π,π)时,f''(x)=-xsinx≤0.
∴f'(x)在f(x)的定义域(-π,π)上单调递减,且易得f'(x)在x=π和x=-π处连续,
∴f'(x)＞f'(π)=πcos(π)-sin(π)=π*1-0=π
f'(x)＜f'(-π)=-πcos(-π)-sin(-π)=(-π)*1-0=-π
∴-π＜f'(x)＜π
∵对于直线l:πx+ysinθ+c=0来说,
(ⅰ)当sinθ=0时,直线方成变为πx+c=0,直线斜率k=+∞,不满足-π＜k＜π
(ⅱ)当sinθ=0时,直线斜率为k=-π/sinθ,所以|k|=π/|sinθ|≥π(因为0＜|sinθ|≤1）,不满足-π＜k＜π
≠,直线方程其斜率k=+∞,不满足-π＜k＜π
∴任取x∈(-π,π),f'(x)≠k,k表示直线l的斜率,而f'(x)就是代表曲线y=f(x)在点x处的切线斜率
所以直线l不可能是f(x)图像在定义域内任意一点的切线.证毕.
∵定义域(-π,π)关于原点(0,0)对称,且在(-π,π)上
f(-x)=(-x)sin(-x)+2cos(-x)=(-x)(-sinx)+2cosx=xsinx+2cosx=f(x)
∴f(x)在定义域上是偶函数,故f(x)在(-π,0]与[0,π)上有相反的单调性
∵由第(1)问过程得f'(x)在(-π,π)上单调递减
∴当x∈(-π,0]时f'(x)≥f'(0)=0cos0-sin0=0,故f(x)在(-π,0]上单调递增,故f(x)在[0,π)上单调递减
∴f(x)在(0,π)上单调递减.
∵asinx+bcosx=(√a^2+b^2)sin(x+φ),asinx-bcosx=(√a^2+b^2)sin(x-φ),其中tanφ=a/b;
又因为a^2+b^2＜π^2故√a^2+b^2＜π,故|(√a^2+b^2)sin(x+φ)|＜π且|(√a^2+b^2)sin(x-φ)|＜π(因为|sin(x+φ)|,|sin(x-φ)|＜1)
∴|asinx+bcosx|,|asinx-bcosx|＜π故asinx+bcosx,asinx-bcosx∈(-π,π)
由第(2)问结论及最后两步过程得,f(x)在定义域(-π,π)上是先增后减的偶函数；在(-π,0]上单调递增,在(0,π)上单调递减.
又∵f(asinx+bcosx)＜f(asinx-bcosx)
∴易得|asinx+bcosx|＞|asinx-bcosx|
由于|asinx+bcosx|＞|asinx-bcosx|的解与(asinx+bcosx)^2＞(asinx-bcosx)^2是一样的(因为|A|＞|B|等价于A^2＞B^2,证明非常容易不赘述)
∴(asinx)^2+(bcosx)^2+2(asinx)(bcosx)＞(asinx)^2+(bcosx)^2-2(asinx)(bcosx)
∴4(asinx)(bcosx)=4absinxcosx=2absin2x＞0
∴absin2x＞0
∵2x∈(-π/2,π/2)
∴ab＞0时,sin2x＞0故2x∈(0,π/2)故x∈(0,π/4)；
ab＜0时,sin2x＜0故2x∈(-π/2,0)故x∈(-π/4,0)；
ab＝0时,无解.
综上所述,
1）当a,b同号且皆不为0时,不等式解集为(0,π/4)；
2）当a,b异号且皆不为0时,不等式解集为(-π/4,0)；
3）当a＝0或b＝0时,不等式解集为空集(不等式无解).