已知抛物线y=-x2+2x+m-1与x轴有两个交点A、B.

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  • 解题思路:(1)根据抛物线与x轴有两个交点,判别式△>0,列式求解即可;

    (2)把点A的坐标代入进行计算求出m的值,再把m的值代入抛物线解析式整理即可得解,把解析式配方写成顶点式,写出点C的坐标即可;

    (3)根据同底等高的三角形面积相等可得点P到x轴的距离等于点C到x轴的距离,再根据点P在x轴下方,把点P的纵坐标代入抛物线解析式求出点P的横坐标即可得解.

    (1)∵抛物线与x轴有两个交点,

    ∴△>0,

    即b2-4ac=22-4×(-1)×(m-1)=4+4m-4=4m>0,

    解得m>0;

    (2)∵A的坐标为(-1,0),

    ∴-(-1)2+2×(-1)+m-1=0,

    解得m=4,

    ∴抛物线解析式为y=-x2+2x+4-1=-x2+2x+3,

    即y=-x2+2x+3,

    ∵y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1)+3+1=-(x-1)2+4,

    ∴顶点C的坐标为(1,4);

    (3)存在点P(1-2

    2,-4)或(1+2

    2,-4).

    理由如下:∵△PAB和△CAB都以AB为底边,

    ∴只要AB边上的高相等,则面积相等,

    根据(2),点C的坐标为(1,4),

    ∴点C到AB的距离为4,

    ∴可以找到在x轴下方的点P,使S△PAB=S△CAB,此时点P的纵坐标为-4,

    -x2+2x+3=-4,

    整理得,x2-2x-7=0,

    解得x=

    −b±

    b2−4ac

    2a=

    −(−2)±

    (−2)2−4×1×(−7)

    2×1=1±2

    2,

    ∴存在点P(1-2

    2,-4)或(1+2

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题综合考查了二次函数,根的判别式的应用,待定系数法求二次函数解析式,同底等高的三角形的面积相等的性质,把点A的坐标代入抛物线解析式求出m的值是解题的关键.