Question

已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

解题思路：将a分离出来得a≥[y/x]-2（[y/x]）²，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出[y/x]的范围，令t=[y/x]，则a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t-2t²的最大值，即可求出a的范围．

由题意可知：不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，

即：a≥[y/x]-2（[y/x]）²，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，

令t=[y/x]，根据右图可知则1≤t≤3，

∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，

∵y=-2t²+t=-2（t-[1/4]）²+[1/8]，1≤t≤3，

∴y_max=-1，

∴a≥-1

故选A．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分离参数的方法、恒成立的思想以及整体代换的技巧．值得同学们体会与反思．属于中档题．