Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x、y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0。

Answer 1

（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）

∴f（1）=0

令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）

∴f（-1）=0。

（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得 f（-x）=f（x）+f（-1）

又f（-1）=0，

∴f（-x）=f（x），

又f（x）不恒为0，

∴f（x）为偶函数。

（3）由f（x+1）-f（2-x）≤0，知f（x+1）≤f（2-x）

又由（2）知f（x）=f（|x|），

∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）

又∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，

∴|x+1|≤|2-x|

故x的取值集合为

。