Question

若函数f（x）=[x/ax+b]（a≠0），f（2）=1，又方程f（x）=x有唯一解，且a1=1，an+1=f（an），

Answer 1

解题思路：所给函数含参数a，b，所以要想着是不是得求出a，b，再看接下来的条件，便可通过条件“f（2）=1“和“方程f（x）=x有唯一解“解出a，b，从而求出f（x）．接下来，看能否确定a_n和s_n，确定s_n之后，求出s_n的最大值即可．

由f（2）=1得：[2/2a+b＝1 （1）

由f（x）=x得：

x

ax+b＝x，将该式化成(

ax+b−1

ax+b)x＝0，解得x=0或x=

1−b

a]，又方程f（x）=x有唯一解，所以[1−b/a＝0，所以b=1，再带入（1）式得a=

1

2]，所以f（x）=[x

1/2x+1]；所以由a_n+1=f（a_n）得：an+1＝

an

1

2an+1，所以[1

an+1＝

1/2+

1

an]，所以，[1

an+1−

1

an＝

1/2]，所以数列{[1

an}是等差数列，公差d=

1/2]，所以[1

an＝a1+(n−1)•

1/2＝

n+1

2]，所以an＝

2

n+1，所以sn＝

2

1+1•

2

2+1+

2

2+1•

2

3+1+…+[2

(n−1)+1•

2/n+1]=4（

1

2•

点评：

本题考点： 函数的最值及其几何意义．

考点点评： 给一个含参数的函数式，要想着是否得求出参数，根据条件能否求出参数，这是需要思考的．给一个数列，要考虑怎样确定数列通项，对于本题，求出通项就要考虑确定sn了．