Question

已知函数f(x)=x1nx设函数g(x)=f(x)-k(x-1)其中k属于R,求函数g(x)在区间[1,e]上的

Answer 1

g'(x)=f'(x)-[k(x-1)]'=lnx +1-k

x≥1,底数e>1,随x递增,lnx单调递增.

ln1≤lnx≤lne 0≤lnx≤1

(1)

当1-k≥0时,即k≤1时,g'(x)≥0,函数g(x)单调递增,当x=e时取得最大值

g(x)max=elne-k(e-1)=e-ke+k

(2)

当k>1时,g'(x)从负到正,g(x)先递减,再递增,只要考察两边界.

x=1时,g(x)=0

x=e时,g(x)=elne-k(e-1)=e-(e-1)k

令e-(e-1)k=0,解得k=e/(e-1)

k≥e/(e-1)时,g(x)≤0 此时g(x)有最大值g(x)max=0

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