Question

已知函数f（x）=lgkx，g（x）=lg（x+1）．（Ⅰ）当k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调区间；（Ⅱ）若

Answer 1

（Ⅰ）当k=1时，y=f（x）+g（x）=lgx+lg（x+1）=lg[x（x+1）]（其中x＞0）

∵y=x（x+1）在（0，+∞）单调递增，且值域为（0，+∞），

∴y=f（x）+g（x）的单调递增区间为（0，+∞），不存在单调递减区间．

（Ⅱ）由f（x）=2g（x），即lgkx=2lg（x+1）．该方程可化为不等式组

kx＞0

x+1＞0

kx＝(x+1)2，

①若k＞0时，则x＞0，原问题即为：方程kx=（x+1）²在（0，+∞）上有且仅有一个根，

即x²+（2-k）x+1=0在（0，+∞）上有且仅有一个根，

由x₁?x₂=1＞0知：△=0．

解得k=4；

②若k＜0时，则-1＜x＜0，原问题即为：方程kx=（x+1）²在（-1，0）上有且仅有一个根，

即x²+（2-k）x+1=0在（-1，0）上有且仅有一个根，

记h（x）=x²+（2-k）x+1，

由f（0）=1＞0知：f（-1）＜0，

解得k＜0．

综上可得k＜0或k=4．

∴实数k的取值集合为{k|k＜0或k=4}．