Question

（高等数学题）证明：任意对称区间上的函数f(x)可分解为一奇一偶两函数之和,且分解唯一.

Answer 1

存在性：令G(x)=[F(x)+F(-x)]/2,H(x)=[F(x)-F(-x)]/2,

则,G(x)是一个偶函数,H(x)是一个奇函数,F(x)=G(x)+H(x),分解成立.

唯一性：设F(x)还可以分解成F(x)=G1(x)+H1(x),那么必有：

G(x)+H(x)=G1(x)+H1(x),

即G(x)-G1(x)=H1(x)-H(x)

显然左边是偶函数,右边是奇函数,于是只能等于0才行.

即得G1(x)=G(x),H1(x)=H(x)