Question

已知函数f（x）=-x2+ax+b（a，b∈R）的值域为（-∞，0]，若关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为（m-4，

Answer 1

解题思路：本题可以利用一元二次不等式与方程的关系研究，得到方程的根与解集的关系，利用两根之差为定值，求出实数c的值，得到本题结论．

∵函数f（x）=-x²+ax+b（a，b∈R）的值域为（-∞，0]，

∴△=0，

∴a²+4b=0，

∴b=-

a2

4．

∵关于x的不等式f（x）＞c-1的解集为（m-4，m+1），

∴方程f（x）=c-1的两根分别为：m-4，m+1，

即方程：-x²+ax-

a2

4=c-1两根分别为：m-4，m+1，

∵方程：-x²+ax-

a2

4=c-1根为：

x=

a

2±

1-c，

∴两根之差为：2

1-c=（m+1）-（m-4），

c=-[21/4]．

故答案为：-

21

4．

点评：

本题考点： 二次函数的性质；一元二次不等式的解法．

考点点评： 本题考查了一元二次不等式与方程的关系，本题难度不大，属于基础题．