(2010•通州区模拟)已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,且a,b∈R).设关于x的不等式f(x)>0的解集为

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  • 解题思路:(1)要求a,b的关系式,可根据方程f(x)=x的两实根为α,β.结合韦达定理(根与系数的关系),用a,b表示α,β.又则|α-β|=1,给出a,b的关系,但在分析过程中,要注意方程有两个不相等的根时,方程的判别式大于零.

    (2)由α<1<β<2,我们可以根据零点的存在定理,我们可以得到f(1),f(2)异号,代入可以构造一个关于a,b的不等式组,画出他们表示的平面区域,利用线性规划不难得到结论.

    (1)由f(x)=x,得ax2+3x+b=0,由已知得9-4ab>0,∴α+β=−3a,αβ=+ba∴|α−β|=(α+β)2−4αβ=1,∴9a2−4ba=1.∴a2+4ab=9,∴a、b的关系式为a2+4ab=9.(2)令g(x)=ax2+3x+b,又a<0,α<1<β...

    点评:

    本题考点: 简单线性规划的应用;一元二次方程的根的分布与系数的关系.

    考点点评: 用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.