在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9 - 知识问答

在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-36，其前n项和为Sn

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解题思路：（1）由已知条件求出a₁₇=-12，从而得到d=
a
17
−
a
9
17−9
=
24
8
＝3
，由此求出前n项和，利用配方法能求出S_n的最小值．
（2）数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，所以当n≤21时，T_n=-S_n，当n＞21时，T_n=S_n-2S₂₁，由此利用分类讨论思想能求出T_n．
（1）在等差数列{a_n}中，
∵a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，
∴3a₁₇=-36，解得a₁₇=-12，
∴d=
a17−a9
17−9=[24/8＝3，
∴a₉=a₁+8×3=-36，解得a₁=-60，
∴S_n=-60n+
n(n−1)
2×3=
3
2(n2−41n)=
3
2(n−
41
2)2-
5043
8]．
∴当n=20或n=21时，S_n取最小值-630．
（2）∵a₁=-60，d=3，
∴a_n=-60+（n-1）×3=3n-63，
由a_n=3n-63≥0，得n≥21，
∵a₂₀=3×20-63=-3＜0，a₂₁=3×21-63=0，
∴数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，T_n=-S_n=-[-60n+
n(n−1)
2×3]=-[3/2n2+
123
2n．
当n＞21时，T_n=S_n-2S₂₁=-60n+
n(n−1)
2×3-2[-60×21+
21(21−1)
2×3]
=
3
2n2−
123
2n+1260．
∴Tn＝
−
3
2n2+
123
2n，n≤21
3
2n2−
123
2n+1260，n＞21]．
点评：
本题考点：数列的求和．
考点点评：本题考查数列的前n项和的最小值的求法，考查数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．

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