Question

证明函数f（x）=[3/x+1]在[3，5]上单调递减，并求函数在[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

解题思路：利用函数的单调性的定义证明函数f（x）=[3/x+1]在[3，5]上单调递减，并利用函数的单调性求得函数在[3，5]的最大值和最小值．

证明：设3≤x₁＜x₂≤5，∵f（x₁）-f（x₂）=[3

x1+1-

3

x2+1=

3(x2+1)−3(x1+1)

(x1+1)(x2+1)=

3(x2−x1)

(x1+1)(x2+1)，

x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，

∴

3(x2−x1)

(x1+1)(x2+1)＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），故函数函数f（x）=

3/x+1]在[3，5]上单调递减．

故当x=3时，函数取得最大值为 [3/4]，当x=5时，函数取得最小值为 [1/2]．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．