Question

已知函数f（x）=ex−e−xex+e−x（其中e=2.71828…是一个无理数）．

Answer 1

解题思路：（1）把分子整理变化成和分母相同的一部分，进行分子常数化，则变量只在分母上出现，根据分母是一个指数形式，恒大于零，得到函数的定义域是全体实数．

（2）根据上一问值函数的定义域关于原点对称，从f（-x）入手整理，把负指数变化为正指数，就得到结果，判断函数是一个奇函数．

（3）根据判断函数单调性的定义，设出两个任意的自变量，把两个自变量的函数值做差，化成分子和分母都是因式乘积的形式，根据指数函数的性质，判断差和零的关系．

f（x）=

e2x−1

e2x+1=1-

2

e2x+1

（1）∵e^2x+1恒大于零，

∴x∈R

（2）函数是奇函数

∵f（-x）=

e−2x−1

e−2x+1=

1−e2x

1+e2x＝−f(x)

又由上一问知函数的定义域关于原点对称，

∴f（x）为奇函数

（3）是一个单调递增函数

设x₁，x₂∈R 且x₁＜x₂

则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

e2x1+1−1+

2

e2x2+1=

2(e2x1−e2x2)

(e2x1+1)(e2x2+1)

∵x₁＜x₂，

∴e2x1−e2x2＜0

∴f（x₁）-f（x₂）＜0

即f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）在R是单调增函数

点评：

本题考点： 指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的定义域，考查函数的奇偶性的判断及证明．考查函数单调性的判断及证明，考查解决问题的能力，是一个综合题目．