Question

已知函数f(x)=axlnx图像上点（e，f(e)）处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），

Answer 1

（Ⅰ）由点

处的切线方程与直线2x-y=0平行，

得该切线斜率为2，即

，

又

，令

，

所以，

。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

显然

时，

，

当

时，

，所以函数

在

上单调递减；

当

时，

，所以函数

在

上单调递增，

①

时，

；

②

时，函数

在[n，n+2]上单调递增，

因此

，

所以

。

（Ⅲ）对一切

恒成立，

又

，

∴

，即

，

设

，

则

，

由

，得x=1或x=2，

∴

单调递增，

单调递减，

单调递增，

∴

，且

，

所以，

，

因为对一切

恒成立，

∴

，

故实数t的取值范围为

。