Question

过定点M(1,2)的两直线l1与l2,l1与x轴交于点A,l2与y轴交于点B,且l1⊥l2,则线段AB中点的轨迹方程是_

Answer 1

设点P(x,y)为线段A.B中点,

若直线l1斜率不存在,即l1与x轴垂直,则由题意l1⊥l2易得直线l1的方程为x=1,l2的方程为y=1

点A坐标为(1,0),点B坐标为(0,2)

此时由中点公式可得x=1/2,y=1,即点P坐标为(1/2,1)

若直线l1斜率存在,有x≠1/2,则由中点坐标公式易知：

点A坐标为(2x,0),点B坐标为(0,2y)

此时直线l1的斜率k1=2/(1-2x),直线l2的斜率k2=2-2y

由于l1⊥l2,故有k1*k2=-1

即[2/(1-2x)]*(2-2y)=-1

4-4y=2x-1

即2x+4y-5=0

易知点(1/2,1)亦在上述方程所表示的直线上

所以线段AB中点的轨迹方程是2x+4y-5=0