平面几何欧拉定理是怎么证明的?画图

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  • 设三角形的外接圆半径为R,内切圆半径为r,外心与内心的距离为d,则d^2=R^2-2Rr.

    证明

    O、I分别为⊿ABC的外心与内心.   连AI并延长交⊙O于点D,由AI平分ÐBAC,故D为弧BC的中点.   连DO并延长交⊙O于E,则DE为与BC垂直的⊙O的直径.   由圆幂定理知,R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID.(作直线OI与⊙O交于两点,即可用证明)   但DB=DI(可连BI,证明ÐDBI=ÐDIB得),  故只需证2Rr=IA·DB,即2R∶DB=IA∶r 即可.   而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得.故得R^2-d^2=2Rr,即证.