Question

关于x的一元二次方程4x2+4（m-1）x+m2=0

Answer 1

解题思路：（1）根据根的判别式，求出不等式[4（m-1）]²-4×4m²≥0的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=-

4(m−1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m

2

4

，化成（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17代入求出即可；

（3）根据当m≤[1/2]时，方程有两个实数根和x₁+x₂=-

4(m−1)

4

=1-m，x₁•x₂=

m

2

4

，推出1-m＞0，

m

2

4

＞0，即可得出答案．

（1）∵当△=[4（m-1）]²-4×4m²=-8m+4≥0时，方程有两个实数根，

即m≤[1/2]，

∴当m≤[1/2]时，方程有两个实数根；

（2）根据根与系数关系得：x₁+x₂=-

4(m−1)

4=1-m，x₁•x₂=

m2

4，

∵x₁²+x₂²=17，

∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=17，

∴（1-m）²-

m2

2=17＜

解得：m₁=8，m₂=-4，

∵当m≤[1/2]时，方程有两个实数根，

∴m=-4；

（3）∵由（1）知当m≤[1/2]时，方程有两个实数根，由（2）知，x₁•x₂=

m2

4，

∴

m2

4＞0，

∴当m≠0，且m≤[1/2]时，x₁和x₂能同号，

即m的取值范围是：m≠0，且m≤[1/2]．

点评：

本题考点： 根与系数的关系；根的判别式．

考点点评： 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：一元二次方程根的情况与判别式△的关系及根与系数的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

（4）若一元二次方程有实数根，则x1+x2=-[b/a]，x1•x2=[c/a]．