已知抛物线y2=2px(p>0),抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为p,过点M(1,0)作斜率为k的直线l交抛物线于A

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  • 解题思路:(1)首先设抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为1的点为N,则N([1/2p],1);然后根据抛物线的定义,列出关于p的方程,求解即可;

    (2)由(1),可得抛物线方程为:y2=2x,设过点M(1,0)做斜率为k的直线l的方程为:y=k(x-1),将直线的方程代入抛物线的方程,消去x得到关于y的一元二次方程,然后根据根与系数的关系,即可求出点Q的坐标.

    (1)设抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为1的点为N,则N([1/2p],1),

    根据题意,N([1/2p],1)在抛物线上,

    则[1/2p+

    p

    2]=p,可得p=1;

    (2)过点M(1,0)做斜率为k的直线l的方程为:y=k(x-1),

    设A(

    y12

    2,y1),B(

    y22

    2,y2),

    则C(

    y12

    2,−y1),kBC=

    y2+y1

    y22

    2−

    y12

    2=

    2

    y2−y1,

    所以直线BC的方程为:y+y1=[2

    y2−y1(x−

    y12/2]),

    因此当y=0时,x=

    y1y2

    2,即Q(

    y1y2

    2,0),

    又因为

    y2=2x

    y=k(x−1),

    可得ky2-2y-2k=0,则y1y2=-2,

    所以当k变化时,点Q为定点,其坐标为(-1,0).

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质.

    考点点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用,考查了抛物线的定义、轨迹方程的求法,还考查了等价转化的思想,属于中档题.