Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx经过点A（2，0）、B（3，3），顶点为C，直线BC与y轴交于点D，点P是x轴负半轴上

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0）、B（3，3），

∴

4a+2b＝0

9a+3b＝3 解得：

a＝1

b＝?2，

∴抛物线的解析式为：y=x²-2x；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x²-2x；

∴y=x²-2x=（x-1）²-1，

∴顶点C（1，-1），

设直线BC为y=kx+m，

则

3k+m＝3

k+m＝?1 解得

k＝2

m＝?3，

∴直线BC为y=2x-3，

∵当x=0时，y=-3，

∴OD=3，

∵PQ∥OD，

∴当PQ=OD时，四边形ODPQ是平行四边形，

∴m²-2m=3，解得m=3（舍去）m=-1，

∴当m=-1时，四边形ODPQ是平行四边形．

（3）存在；

∵P（m，0），

∴Q（m，m²-2m），

∴PQ=m²-2m，PA=2-m，

∵A（2，0）、B（3，3）、C（1，-1），

∴OB=3

2，OC=

2，

∴OB²+OC²=20，

∵BC²=（3-1）²+（3+1）²=20，

∴△BOC是直角三角形，∠BOC=90°，

∵以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似，

∴[PQ/OC]=[PA/OB]或[PQ/OB]=[PA/OC]，

当[PQ/OC]=[PA/OB]时，则

m2?2m

2=

2?m

3

2，

解得m=-[1/3]，m=2（舍去），

当[PQ/OB]=[PA/OC]时，则

m2?2m

3

2=

2?m

2，

解得m=-3，m=2（舍去），

∴使得以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似的Q点的坐标Q（-[1/3]，[7/9]）或Q（-3，15）．