解题思路：（1）令f（x）=x2-2x-a2-a，由于f（2）=-a2-a＜0，可得这个方程f（x）=0的一根大于2，一根小于2．
（2）由条件利用韦达定理可得 α1+β1=1，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）=-2；…，α2011+β2011=1，α2011•β2011=-2011×2012，而要求的式子即（
1
a
1
+
1
β
1
）+（
1
a
2
+
1
β
2
）+…+（
1
a
2011
+
1
β
2011
），即-[
1/2]+[1/2×3]+[1/3×4]+…+[1/2011×2012]]，再用裂项法进行求和．
（1）证明：关于x的一元二次方程x2-2x-a2-a=0（a＞0），令f（x）=x2-2x-a2-a，
由于f（2）=-a2-a＜0，可得这个方程的一根大于2，一根小于2．
（2）由条件利用韦达定理可得 α1+β1=1，α1•β1=-a2-a=-a（a+1）=-2；α2+β2=1，α2•β2=-a2-a=-a（a+1）=-6；…，
α2010+β2010=1，α2010•β2010=-a2-a=-2010×2011，α2011+β2011=1，α2011•β2011=-2011×2012，
∴（
1
α1+
1
α2+…+
1
α2010+
1
α2011）+（
1
β1+
1
β2+…+
1
β2010+
1
β2011）=（
1
a1+
1
β1）+（
1
a2+
1
β2）+…+（
1
a2011+
1
β2011）
=
α1+β1
α1•β1+
α2+β2
α2•β2+…+
α2011+β2011
α2011•β2011
点评：
本题考点： 一元二次方程的根的分布与系数的关系．
考点点评： 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，韦达定理以及用裂项法进行数列求和，体现了转化的数学思想，属于基础题．
1年前
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