在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB

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  • 解题思路:(1)由于C、D是定点,则CD是定值,如果△CDE的周长最小,即DE+CE有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D',当点E在线段CD′上时,△CDE的周长最小;

    (2)由于DC、EF的长为定值,如果四边形CDEF的周长最小,即DE+FC有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取CG=2,当点E在线段D′G上时,四边形CDEF的周长最小.

    (1)如图,作点D关于x轴的对称点D',连接CD'与x轴交于点E,连接DE.

    若在边OA上任取点E'与点E不重合,连接CE'、DE'、D'E'

    由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE,

    可知△CDE的周长最小.

    ∵在矩形OACB中,OA=3,OB=4,D为OB的中点,

    ∴BC=3,D'O=DO=2,D'B=6,

    ∵OE∥BC,

    ∴Rt△D'OE∽Rt△D'BC,有[OE/BC=

    D′O

    D′B]

    ∴OE=

    D′O•BC

    D′B=

    2×3

    6=1

    ∴点E的坐标为(1,0);

    (2)如图,作点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取CG=2,连接D'G与x轴交于点E,在EA上截取EF=2,

    ∵GC∥EF,GC=EF,

    ∴四边形GEFC为平行四边形,有GE=CF,

    又DC、EF的长为定值,

    ∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

    ∵OE∥BC,

    ∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG,有[OE/BG=

    D′O

    D′B].

    ∴OE=

    D′O•BG

    D′B=

    D′O•(BC−CG)

    D′B=

    2×1

    6=

    1

    3

    ∴OF=OE+EF=

    1

    3+2=

    7

    3

    ∴点E的坐标为([1/3],0),点F的坐标为([7/3],0)(10分)

    点评:

    本题考点: 轴对称-最短路线问题;平行四边形的判定与性质;相似三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题主要考查轴对称--最短路线问题,解决此类问题,一般都是运用轴对称的性质,将求折线问题转化为求线段问题,其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.