设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<[1/a].

1个回答

  • 解题思路:(1)利用韦达定理,即可求x12+x22的值;

    (2)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2,函数f(x)的图象,关于直线x=x0对称,利用放缩法推出x0

    x

    1

    2

    (3)方程f(x)-x=0的两个根x1,x2,所以构造函数,当x∈(0,x1)时,利用函数的性质推出x<f (x),然后作差x1-f(x),化简分析出f(x)<x1,即可.

    (1)f(x)−x=

    1

    2x2−x+

    3

    8=0⇒x1x2=

    3

    4,x1+x2=2,

    x21+

    x22=(x1+x2)2−2x1x2=[5/2]------(3分)

    (2)∵x0=−

    b

    2a---------(4分)

    ∴x0+

    1

    2a=−

    b−1

    2a=

    1

    2(x1+x2)----------(6分)

    ∵x2<

    1

    a⇒

    x2

    2<

    1

    2a,

    ∴[1/2x1+

    1

    2x2<

    1

    2x1+

    1

    2a⇒x0+

    1

    2a<

    1

    2x1+

    1

    2a],

    ∴x0<

    x1

    2----------------(8分)

    (3)设f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)----------(9分)

    ∵x∈(0,x1)∴x-x1<0,x-x2<0,a>0,

    ∴f(x)-x>0⇒x<f(x)--------(11分)

    f(x)-x1=f(x)-x+x-x1=a(x-x1)(x-x2)+(x-x1)=(x-x1)[a(x-x2)+1]--------(13分)

    ∵−

    1

    a<x−x2<0∴−1<a(x−x2)<0⇒f(x)−x1<0⇒f(x)<x1--------(14分)

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用.

    考点点评: 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.