Question

已知函数f（x）=lg（x+[a/x]-2），其中a是大于0的常数．

Answer 1

解题思路：（1）对g（x）=x+[a/x]-2，利用导数研究g（x）单调性，再利用复合函数的单调性进行求解；

（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，只要求出f（x）的最大值即可，利用导数研究f（x）的最值；

（1）设g（x）=x+[a/x]-2，当a∈（1，4），x∈[2，+∞）时

则g′（x）=1-[a

x2=

x2−a

x2＞0恒成立，

∴g（x）=x+

a/x]-2在[2，+∞）上是增函数

∴f（x）=lg（x+[a/x]-2）在[2，+∞）上是增函数，

∴f（x）=lg（x+[a/x]-2）在[2，+∞）上的最小值为f（2）=lg[a/2]…6分

（2）对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+[a/x]-2＞1对x∈[2，+∞）恒成立…8分

∴a＞3x-x²，而h（x）=3x-x²=-（x-[3/2]）²+[9/4]在x∈[2，+∞）上是减函数 …10分

∴h（x）_max=h（2）=2，

∴a＞2；

点评：

本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 此题主要考查函数的恒成立问题，利用了常数分离法，这也是高考常用的方法，本题是一道中档题；