解题思路：（1）通过令x1=x2=0，即可得到f（0）=1；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R，判断出f（x1）与f（x2）的大小即可知道增减性．
（3）已知f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，则f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式f（cos2x+asinx-2）＜3，得f（cos2x+asinx-2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函数，得到cos2x+asinx-2＜2，利用换元法转化函数，通过函数的对称轴的讨论，利用函数的最小值大于0，求出a的范围即可．
（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1成立，
令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
（2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，
∴f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）-1=f（x2）-[f（x1）-1]=
f（x2）-f（x1）+1．
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x2-x1）=f（x2）-f（x1）+1＞1，∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（cos2x+asinx-2）＜3，得f（cos2x+asinx-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函数，∴cos2x+asinx-2＜2，
⇒cos2x-asinx-4＜0．⇒sin2x-asinx+3＞0．令t=sinx∈[-1，1]，则g（t）=t2-at+3=（t-[a/2]）2-
a2
4+3．
故只需g（t）min＞0．
当[a/2≤-1即a≤-2时，g（t）min=g（-1）=a+4＞0，⇒-4＜a≤-2．
当-1＜
a
2＜1即-2＜a＜2时，g（t）min=g（
a
2]）=-
a2
4+3＞0，⇒-2＜a＜2．
当
a
2≥1即a≥2时，g（t）min=g（1）=-a+4＞0，⇒2≤a＜4．
综上所述，实数a的取值范围：（-4，4）．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；抽象函数及其应用．
考点点评： 考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力，灵活运用题中已知条件的能力，考查分类讨论思想的应用．