Question

讨论函数f（x）=ax1−x2（-1＜x＜1，a∈R）的单调性．

Answer 1

解题思路：首先，在（-1，1）上任意取值，再作差、变形，然后，根据式子的特点，对a进行分类讨论判断符号、下结论．

当a＞0时，f（x）在（-1，1）是减函数，

当a＜0时，f（x）在（-1，1）上是增函数，

当a=0时，f（x）在（-1，1）上不具有单调性．

证明如下：

设-1＜x₁＜x₂＜1，

则f（x1）-f（x2）=

ax1

1−x12−

ax2

1−x22＝

a(x2−x1)(x1x2+1)

(x22−1)(x12−1)，

∵-1＜x₁＜x₂＜1，

∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x12−1＜0，x22−1＜0

∴

(x1 x2+1)(x2−x1)

(x22−1)(x12−1)＞0，

∴当a＞0时，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是减函数，

当a＜0时，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函数，

当a=0时，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有单调性．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数单调性的证明方法：定义法，关键是变形，直到能明显的判断出符号为止，本题属于中档题，注意分类讨论思想在解题中的灵活运用．