Question

已知函数f（x）=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为（　　）

Answer 1

解题思路：f（x）=mx²+lnx-2x在定义域内是增函数⇔f′（x）=2mx+[1/x]-2≥0在定义域（0，+∞）内恒成立．分离变量m，构造函数g（x）=y=

2x−1

2

x

2

（x＞0），只需m≥g（x）_max即可．

∵f（x）=mx²+lnx-2x在定义域内是增函数，

∴f′（x）=2mx+[1/x]-2≥0在定义域（0，+∞）内恒成立．

∴2mx≥2-[1/x]，

∴m≥

2−

1

x

2x=[2x−1

2x2（x＞0）．

令g（x）=y=

2x−1

2x2（x＞0），m≥g（x）_max．

则2yx²-2x+1=0，

由于y不恒为0，

∴当y≠0时，方程2yx²-2x+1=0有根的条件为：△=4-4×2y×1≥0，

∴y≤

1/2]．

∴m≥[1/2]．

故选D．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查恒成立问题，考查构造函数与方程的数学思想，属于中档题．