已知函数f(x)=[1/2]mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为(  )

3个回答

  • 解题思路:函数f(x)=12mx2+lnx-2x在定义域(x>0)内是增函数.即f′(x)=mx+1x-2≥0对于任意x>0恒成立,即m≥2x-1x2对于任意x>0恒成立,即m≥(2x-1x2)max.

    ∵函数f(x)=[1/2]mx2+lnx-2x在定义域(x>0)内是增函数,

    ∴f′(x)=mx+[1/x]-2≥0对于任意x>0恒成立,

    即m≥[2/x]-[1

    x2对于任意x>0恒成立,

    即m≥(

    2/x]-[1

    x2)max

    令g(x)=

    2/x]-

    1

    x2,

    则g′(x)=-

    2

    x2+

    2

    x3=-

    2(x−1)

    x3,

    解g′(x)>0,得0<x<1;

    解g′(x)<0,得x>1.

    因此当x=1时,g(x)取得最大值,g(1)=1.

    ∴m≥1.

    故实数m的取值范围为[1,+∞).

    故选:D

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质.

    考点点评: 正确吧问题等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键.