解题思路：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，得f′（x）=a+1+lnx，依题意f′（[1/e]）=a=1，从而求出a=1．
（Ⅱ）由g′（x）=
x−1−lnx
(x−1)
2
，设h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-[1/x]，讨论①当x＞1时，②当0＜x＜1时的情况，得出g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．
（Ⅰ）f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
依题意f′（[1/e]）=a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）∵g（x）=[xlnx/x−1]，
∴g′（x）=
x−1−lnx
(x−1)2，
设h（x）=x-1-lnx，
则h′（x）=1-[1/x]，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．
对∀x＞1，h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减增函数．
对∀x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的值，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．