先给结论：x,y,z的取值范围只能如下：
1≤x≤2,-1≤y≤3,-1≤z≤1
∴x+y+z的最大值为M=2+3+1=6
x+y+z的最大值为m=1+(-1)+(-1)=-1
下面给出一个简单的证明（当然可能不是最严谨的证明）：
设a=|x-2|+|x-1|,b=|y-3|+|y+1|,c=|z-1|+|z+1|
则有 abc=8
①假设x的值超出上述限值,比如x>2,而y,z不超限
则有 a=|x-2|+|x-1|=2x-3=2(x-1.5)
b=|y-3|+|y+1|=3-y+y+1=4,c=|z-1|+|z+1|=1-z+z+1=2
∴abc=2(x-1.5)*4*2=8*2(x-1.5)
∵x>2,∴2(x-1.5)>1,∴abc=8*2(x-1.5)>8
即与已知的等式abc=8矛盾,∴x>2不成立
又比如x1,
同样有abc=8*2(1.5-x)>8,与已知矛盾
∴x的取值不可能超出上述范围
同理可证,y或z也不可能单独超限
②假设x,y超限,而z不超限,
则有 a=2(x-1.5)或 2(1.5-x),b=2(y-1)或2(1-y)
上述①已经证明,不论x,y取超限外的何值,均有a>1,b>4
∴总有abc=2ab>2*1*4=8,与已知矛盾
③对于x,y,z均超限的情况,证法类似
不论取超限外的何值,总有 a>1,b>4,z>2
∴总有 abc>1*4*2=8,与已知矛盾
综上所述,x,y,z的取值只能为：
1≤x≤2,-1≤y≤3,-1≤z≤1
此时,等式左端括号内的两个绝对值去掉后有一个反号
刚好将变量x,y,z均消除掉,正好有 a=1,b=4,c=2
∴abc=1*4*2=8,等式恒成立
∴x,y,z均取最大值时,x+y+z取得最大值M=6
x,y,z均取最小值时,x+y+z取得最小值m=-1