Question

（2014•济南一模）已知f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜-xf′（x），则

Answer 1

解题思路：由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，不等式f（x+1）＞（x-1）f（x²-1），构造为g（x+1）＞g（x²-1），问题得以解决．

设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，

∴函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，

∵f（x+1）＞（x-1）f（x²-1），x∈（0，+∞），

∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x-1）f（x²-1），

∴（x+1）f（x+1）＞（x²-1）f（x²-1），

∴g（x+1）＞g（x²-1），

∴x+1＜x²-1，

解得x＞2．

故选：D．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性的关系对不等式进行判断．