Question

为什么函数在区间内连续,积分上限函数在这个区间内就可导呢

Answer 1

记F(x)=∫(a->x)f(t)dt

则F(x+△x)-F(x)=∫(x->x+△x)f(t)dt

再由f(t)在区间连续和定积分第一中值定理得

F(x+△x)-F(x)=f(β)*△x (其中β在x和x+△x之间)

所以[F(x+△x)-F(x)]/△x=f(β)

那么△x->0时得

F'(x)=f(x)

显然F(x)在这个区间可导