若a>1,设函数f(x)=ax+x-2的零点为m,g(x)=logax+x-2的零点为n,则[1/m]+[1/n]的取值

1个回答

  • 解题思路:由指数函数和对数函数图象的对称性可知m+n=2,可得[1/m]+[1/n]=[1/2]([1/m]+[1/n])(m+n)=[1/2](2+[m/n]+[n/m]),由基本不等式可得.

    ∵函数f(x)=ax+x-2的零点为m,

    ∴m可看作y=ax与y=2-x图象的交点的横坐标,∴0<m<1,

    同理∵g(x)=logax+x-2的零点为n,

    n可看作y=logax与y=2-x图象的交点的横坐标,∴1<n<2,

    由y=ax与y=logax的对称性可知m+n=2,

    ∴[1/m]+[1/n]=[1/2]([1/m]+[1/n])(m+n)=[1/2](2+[m/n]+[n/m])

    ≥[1/2](2+2

    m

    n•

    n

    m)=2,

    当且仅当m=n=1时,取等号,但m≠n,

    ∴[1/m]+[1/n]的取值范围为:(2,+∞)

    故选:A

    点评:

    本题考点: 基本不等式;函数零点的判定定理.

    考点点评: 本题考查函数的零点,涉及函数图象的对称性和基本不等式,属中档题.