Question

已知函数f（x）=x（a+lnx）有极小值-e-2．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求函数的定义域，利用极小值-e^-2，求实数a的值；

（Ⅱ）利用导数求函数的最值即可．

（Ⅰ）因为函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数为f'（x）=1+a+lnx，由f'（x）=1+a+lnx=0，

解得x=e^-1-a，即当x=e^-1-a，时，函数取得极小值-e^-2．

即f（e^-1-a）=e^-1-a（a-1-a）=-e^-1-a=-e^-2，

所以解的a=1，即实数a的值为1．

（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x（1+lnx），所以设g(x)＝

f(x)

x−1＝

x+xlnx

x−1，

则g′(x)＝

x−2−lnx

(x−1)2．

令h（x）=x-2-lnx，x＞1．

因为h′(x)＝1−

1

x＝

x−1

x＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，

又h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4=2-2ln2＞0，

所以h（x）在（1，+∞）上存在唯一的一个实数根x₀，满足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0

，即x₀-2-ln⁡x₀=0，所以lnx₀=x₀-2．

当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，此时g'（x）＜0，

当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，此时g'（x）＞0．

所以g′(x)＝

x−2−lnx

(x−1)2在x∈（1，x₀）时，单调递减，在x∈（x₀，+∞）上单调递增，

所以.g(x)min＝g(x0)＝

x0+x0lnx0

x0−1=

x0+x0(x0−2)

x0−1＝

x0(x0−1)

x0−1＝x0∈（3，4）．

所以要使k＜

f(x)

x−1对任意x＞1恒成立，则k＜g（x）_min⁡=x₀∈（3，4），

因为k∈Z，所以要k≤3，即k的最大值为3．

点评：

本题考点： 函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题主要考查了函数的极值和导数之间的关系，以及根的存在性定理的应用，综合性较强，运算量较大．