解题思路:(Ⅰ)先求出函数的导数,由题意知,导数等于0有两个正根,分a<0和a>0两种情况讨论.
(Ⅱ)由题意知,∃a∈(0,4),使ax2-4x+1≥0对x∈[b,b+2]恒成立,即 a>-
(
1
x
)
2
+[4/x]=-
(
1
x
-2)
2
+4 恒成立,由
4>-(
1
x
)
2
+4•
1
x
=-(
1
x
-2
)
2
+4
恒成立,故x≠[1/2],由b>0,根据[1/2]不在区间[b,b+2]内,求出实数b的取值范围.
(Ⅰ)f′(x)=ax-4+
1
x=
ax2-4x+1
x(x>0),由题意:a≠0,又
①当a<0时,[1/a<0,f'(x)=0两根异号,不合题意;
②当a>0时,
2
a>0可知△=16-4a>0,即0<a<4,
此时由f′(x)=0得,x1=
2-
4-a
a],x2=
2+
4-a
a,(4分)
由下表
故当0<a<4时,函数f(x)的两个极值点.(6分)
(Ⅱ)结合(Ⅰ)可得“∃a∈(0,4),使ax2-4x+1≥0对x∈[b,b+2]恒成立”,
即 a>-(
1
x)2+[4/x]=-(
1
x-2)2+4 恒成立,由[b,b+2]⊂(0,+∞)得b>0,
又4>-(
1
x)2+4•
1
x=-(
1
x-2)2+4恒成立,
∴x≠
1
2,b+2≤
1
2,或b≥
1
2,从而b≥
1
2.(13分)
点评:
本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查函数在某点存在极值的条件,利用导数判断函数的单调性的方法,以及函数的恒成立问题.