(2011•松江区二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=5,D是BC边上一点,CD=3,点P在边A

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  • 解题思路:(1)首先根据勾股定理求得AD的长,又由平行线分线段成比例定理求得DE的长,则可得y与x的关系;

    (2)因为当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时,有DE=PE+BD,所以可以求得x的值,即可求得PC的长,则在Rt△PCD中,根据三角函数的性质即可求得tan∠DPE的值;

    (3)首先由有两角对应相等的三角形相似,即可证得:△ACD∽△BFD与△ACE∽△BCB′,又由相似三角形对应边成比例,即可求得AP的值.

    (1)∵在Rt△ABC中,AC=4,CD=3,

    ∴AD=5,

    ∵PE∥BC,

    ∴[AP/AC=

    AE

    AD],

    ∴[x/4=

    AE

    5],

    ∴AE=[5/4]x,

    ∴DE=5-[5/4]x,

    即y=5-[5/4]x,(0<x<4);

    (2)当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时,有DE=PE+BD,即5-[5/4]x=[3/4]x+2,

    解之得x=[3/2],

    ∴PC=[5/2],

    ∵PE∥BC,

    ∴∠DPE=∠PDC,

    在Rt△PCD中,

    tan∠PDC=[PC/CD]=

    5

    2

    3=[5/6];

    ∴tan∠DPE=[5/6];

    (3)延长AD交BB′于F,则AF⊥BB′,连接CE,

    则∠ACD=∠BFD,

    ∵∠ADC=∠FDB,

    ∴∠CAD=∠FBD,

    ∴△ACD∽△BFD,

    ∴BF=[8/5],

    ∴BB′=[16/5],

    ∵∠ACE=∠BCB′,∠CAE=∠CBB′,

    ∴△ACE∽△BCB′,

    ∴AE=[64/25],

    ∴AP=[256/125].

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;切线的性质;翻折变换(折叠问题).

    考点点评: 此题考查了相似三角形的判定与性质,以及旋转的性质,三角函数等知识.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.