解题思路：（1）考查导数的几何意义，方程思想解决
（2）考查构建函数，利用导数求函数范围，利用图象数形结合列式求解
（3）考查利用导数证明不等式，构建函数能力
（1）设切（x0，y0），y0=x0，f′(x0)＝
1
x+a，k＝ f′(x0)＝
1
x0+a＝1
∴x0+a=1，且y0=ln（x0+a）=0，∴x0=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）=[1/6x3 +b，得
1
6x3−ln(x+1)+b＝0
令h（x）=
1
6x3−ln(x+1)+b，h′(x)＝
x2
2−
1
x+1＝
x3+x2−2
2(x+1)＝
(x−1)(x2+2x+2)
2(x+1)]
在（0，1）上h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）单调减
在（1，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调增
∴0＜b＜−
1
6+ln2，若h（x）图在（0，+∞）内x轴有两个不同的交点，则
h(0)＝b＞0
h(1)＝
1
6+b−ln2＜0
，此时h（3）=[9/2−2ln2+b＞0
所b的范围为0＜b＜−
1
6+ln2．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个x1、x2，满足0＜x1＜1，x2＞1，
∴x1x2+1-（x1+x2）=（1-x1）（1-x2）＜0
∴x1x2+1＜（x1+x2）
（3）求导数可证f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N*时，lnn＜n-1
∴
lnn
n!＜
n−1
n!＝
1
(n−1)!−
1
n!]（12分）
∴
ln2
2!+
ln3
3!+…+
lnn
n!＜(1−
1
2!) +(
1
2!−
1
3!) +…+ (
1
(n−1)！−
1
n!)＝1−
1
n!＜1（13分）
点评：
本题考点： 导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明．
考点点评： 本题考查导数的综合应用，对学生的能力要求较大，属于难题