解题思路：由已知中定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案．
∵当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f(x)＝
1
cf(2x)＝
1
c(1−|2x−3|)，
此时当x=[3/2]时，函数取极大值[1/c]
当2≤x≤4时，
f（x）=1-|x-3|；
此时当x=3时，函数取极大值1
当4＜x≤8时，2＜[x/2]≤4，
则f(x)＝cf(
x
2)＝c(1−|
x
2−3|)，
此时当x=6时，函数取极大值c
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点(
3
2，
1
c)，(3，1)，(6，c)共线，
∴
1−
1
c
3
2＝
c−1
3
解得c=1或2．
故答案：1或2
点评：
本题考点： 三点共线；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．