Question

已知f（x+1）=xα（α为常数），且函数y=f（x）的图象经过点（5，2）．

Answer 1

解题思路：（1）先根据f（x+1）=x^α表示出f（x），然后将点（5，2）代入，求出α，从而求出函数f（x）的解析式；

（2）设1≤x₁＜x₂，然后通过化简变形判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据增函数的定义进行判定即可．

（1）∵f（x+1）=x^α∴f（x）=（x-1）^α，

又y=f（x）的图象过点（5，2）∴f（5）=（5-1）^α=2，α=log₄2=[1/2]

∴f(x)＝(x−1)

1

2＝

x−1 （x≥1）

（2）设1≤x₁＜x₂，

则f（x₁）-f（x₂）=

x1−1−

x2−1=

x1−x2

x1−1+

x2−1＜0

∴f（x₁）＜f（x₂）∴y=f（x）在定义域内为增函数．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了幂函数，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键就是对f（x1）-f（x2）进行化简变形定号，属于基础题．